片方の扉の門番は常に嘘を…という問題について解説する

有名なクイズで扉の番人が2人いて、片方は嘘を言わない、もう片方は嘘しか言わない、というのがあります。
以下のような問題です。

本記事では、この問題を解くためのステップをご紹介します。

まずは2つの場合分けが必要なことを理解しよう

どちらの扉に正直者がいて、どちらの扉に嘘つきがいるかについて、2つのケースが考えられます。

（i）
正直者-天国
嘘つき-地獄

（ii）
正直者–地獄
嘘つき–天国

正直者の後ろに天国への道がある場合と、正直者の後ろに地獄への道がある場合の2つに場合分けできます。

正直者 or 嘘つき、天国 or 地獄なので2 x 2で4通りの場合分けがあると思われるかもしれませんが、正直者も天国で、嘘つきも天国というようなケースは起こりえないので、2通りだけ考えればOKです。

どんな質問がいいか考えてみよう

さて、このような状況で天国を見つけるためにはどのような質問をすればいいのでしょうか？
まず手初めにすぐに思いつきそうな質問をしてみましょう。

「あなたの後ろには天国への道が続いていますか？」

（i）の場合
正直者： 自分の後ろは確かに天国だ→「はい」
嘘つき： 自分の後ろは地獄だから「いいえ」だけど嘘をつこう→「はい」

（ii）の場合
正直者： 自分の後ろは地獄だ→「いいえ」
嘘つき：自分の後ろは天国だから「はい」だけど嘘をつこう→「いいえ」

さて、この場合は正直者も嘘つきも同じ答えをすることが分かりました。つまりこの質問をして、「はい」や「いいえ」という返答をもらっても、何の情報も得られないということが分かります。
ではこのように何の情報も得られなくなってしまう原因は何でしょうか？
それは、一方が本当のことを言い、他方が嘘を言っているからです。

例えば、2人とも本当のことを言ってくれれば、こんな問題は発生しません。
また、2人とも嘘を言ってくれても、得られた返答と逆を選べば正解なので問題は発生しません。

嘘の嘘は本当を使うと解ける！

一方は本当で、他方は嘘、なので答えが分からなくなる…。なら、2人ともが本当のことを言うような質問をすればいいのです！
それはどのような質問か？というと、ずばり、質問の答えを訊く質問をすればいいのです。
+ × +が+で、– × – も+になるように、
本当の本当は本当ですし、嘘の嘘も本当になるのです。
具体的にどんな質問かというと、以下のような質問です。

「あなたの後ろには天国への道が続いていますか？と訊かれたら「はい」と答えますか？」

（i）の場合
正直者： 自分の後ろは確かに天国だから「はい」って答えるよな→「はい」
嘘つき： 自分の後ろは地獄だから「いいえ」だけど嘘をついて「はい」って答えるよな。だから答えは「はい」なんだけど嘘をつこう→「いいえ」

（ii）の場合
正直者： 自分の後ろは地獄だから「いいえ」って答えるよな→「いいえ」
嘘つき： 自分の後ろは天国だから「はい」だけど嘘をついて「いいえ」って答えるよな。だから答えは「いいえ」なんだけど嘘をつこう→「はい」

このように（i）の場合でも（ii）の場合でも「はい」という答えが得られた方が天国、「いいえ」という答えが得られた方が地獄になっているので、この質問をするだけでどっちがどっちなのかを判断することができます。

また、こんな質問でもOKです。

「もう一人の門番は天国への道が続いていますか？と訊かれたら「はい」と答えますか？」

（i）の場合
正直者： あいつの後ろは地獄だから「いいえ」なんだけど、嘘ついて「はい」って答えるよな→「はい」
嘘つき： あいつの後ろは天国だから「はい」で、正直に「はい」って言うんだろうけど、嘘をつこう→「いいえ」

（ii）の場合
正直者： あいつの後ろは天国だから「はい」なんだけど、嘘ついて「いいえ」って答えるよな→「いいえ」
嘘つき： あいつの後ろは地獄だから「いいえ」で、正直に「いいえ」って言うんだろうけど、嘘をつこう→「はい」

これも先ほどのように「はい」が得られたら天国で「いいえ」が地獄だということが分かります。

いかがでしょうか？
このように順を追って考えていくと答えを覚えなくても解答を導き出すことができますね！

90秒で分かるゲーム理論のナッシュ均衡って何？