【数学】「=」イコールの意味は2つある!意外と混同しがちな記号

小学校の頃から長く慣れ親しんでいる記号「 = 」イコール。日本語では「等号」と呼ばれています。
でもこのイコールに異なる2つの意味があることは知っていました?

Equals

式を変形するときのイコールと方程式のイコールはべつもの

例えば、次のイコールを見て下さい。

2 + 3 = 5

この場合のイコールは、左側の式とを変形すると右側の式になることを表しています。
そして、その変形は誰がやっても(この場合足し算のやり方を知っている人なら誰でも)、同じ結果になります。

次に、以下のケースのイコールを見て下さい。

2a + 3b = 0

このイコールは、先ほどの2 + 3 = 5のイコールとは種類が異なります。
なぜなら、2a + 3bを計算しても0にはならないからです。
2a + 3b だけ見せられて、「これは0になるぞ!」と叫んだら狂人と思われてしまいます。

この場合のイコールは、左側の式を変形して右側の式になることを表しているのではなく、「左側と右側が同じになります」という取り決めを表している記号です。
普通はこのようなイコールでつながれた式を方程式と言います(y = 3x + 2 などなど)。

2つのイコールは扱い方が異なるので気をつけよう

さて、イコールに2種類あることは分かりましたが、見た目上この2つのイコールは両方とも「=」という同じ記号で表され、記号を見ただけではどっちのイコールなのか判断できません。
数学では、異なる意味を表すものには異なる記号を使うのが常ですが、イコールはやや例外的な扱いになっています。

同じ記号なので、同じように扱っていいかというとそうでもありません。

例えば、式を変形する方のイコールは以下のような表し方をします。

2a + 4a + 3a + a = 6a + 3a + a
= 9a + a
= 10a

初めの左側の式で4つ項があるので、前から順番に足していっています。
左側を固定して、右側に計算の結果が順々に書かれています。

式の変形を行うときのイコールの場合、この書き方をやって問題ありません。

ですが、方程式のイコールで同じことをするのは禁物です。

2a + a = 3b + b
 = 4b
3a  = 4b

これは2行目で右辺の計算をして、3行目で左辺の計算をしたことを表しています。
ですが、1行目のイコールは方程式のイコールで、
2行目のイコールは式変形のイコールになってます、
そして、3行目では式変形のイコールかつ方程式のイコールになっています。

これでは、イコールの取り扱いがぐちゃぐちゃです。
方程式のイコールは一貫して方程式のイコールとして取り扱った方が望ましいです。

そのため、よく「⇔」の記号を使って、方程式のイコールの式の式変形を書くことがあります。

2a + a = 3b + b
⇔ 2a + a = 4b
⇔ 3a = 4b

このようにすれば、イコールを常に方程式のイコールとして取り扱うことができます。

さらに、詳しい説明は以下の動画で詳しく見ることができます。

イコールの2つの意味 – オイラーの公式目指して

様々な式を目にすることがあると思いますが、そこにあるイコールが一体どっちの意味のイコールなのか、見極められるようになりましょう!
そうすることで、式を正しく扱い、より深く式の意味を理解できるようになるはずです!

コメント

  1. 通りすがり より:

    イコールの意味は「左側と右側が同じになります」だけですよ。式変形に用いる際もイコールの記号自体は同じ事を表しています。

    あと、特に理由が無ければ⇔よりも⇒をお勧めします。
    「5=b ⇒ 5a=ab」は常に成り立ちますが、「5a=ab ⇒ 5=b」はa=0の時に成り立ちません。だから「5=b ⇔ 5a=ab」だと間違いになります。

  2. anonymous より:

    私もイコールの意味は「左側と右側が同じになります」だけだと思います。式変形で使う=も 3b + b = 4b の3b + bを省略しているだけで「左側と右側が同じになります」のみだと思います。

  3. あああああ より:

    等号の意味は、左辺と右辺が数学的に等しい、に他なりません。
    2a+4a+3a+a = 6a+3a+a
    = 10a
    上式2行目は
    2a+4a+3a+a = 10a
    を省略したに過ぎず、
    2a+4a+3a+a = 6a+3a+a
    ∴ 2a+4a+3a+a = 10a
    と書けば等号の意味に縛られることはありません。