ゲーム理論のナッシュ均衡とは何だろう? – ナッシュ均衡入門

ジョン・ナッシュがその理論を構築したナッシュ均衡

ゲーム理論ではよく耳にする言葉ですが、このナッシュ均衡とは一体何なのでしょう?

Nash-Classic-Equilibrium

 ナッシュ均衡の定義

以下はWikipediaから引用したナッシュ均衡の定義です。

形式的な定義は次の通りである。標準型ゲーム G = (NSu) (N はプレーヤーの集合、S = prod_{i in N} S_i は戦略の組の集合、u = (u_i)_{i in N} ; (u_i : S rightarrow mathbb{R}) は効用の組)において、戦略の組 s^* in S がナッシュ均衡であるとは、全てのプレーヤー i in N と、全ての s_i in S_i に対して、 u_i(s^*) geq u_i(s_i, s^*_{-i})

うーん…。
これって日本語?って言いたくなるくらい、よく分かりませんね。

簡単な言葉で言い換えるとナッシュ均衡は次のように説明することができます。

ナッシュ均衡とは、相手の戦略が分かっていて、
相手が戦略を変えないとして、自分だけが戦略変えると損をしてしまうような状況が全てのプレイヤーで起こっている状況。

自分だけ戦略を変えると損をするわけですから、自分は戦略を変えない方がいいという結論が導き出されます。
また、相手についても同じことが成り立っていると、相手も戦略を変えないほうがいい状態になります。

つまり、誰も戦略を変えない方が損をしなくて済むため、戦略の変更を誰もしない硬直状態ということができます。

このような硬直状態の戦略の取り方をナッシュ均衡と言います。

ナッシュ均衡の例

恋人との待ち合わせにおけるナッシュ均衡

恋人同士が待ち合わせをしているとします。
携帯など互いにコミュニケーションを取ることができない状況を考えます。

このとき、待ち合わせ場所として改札前とコンビニ前があったとします。
女性が改札前に行っていることがなんらかの形で知ることができたら、男性は改札前で待つ、という戦略を選ぶはずです。
もし、ここでコンビニ前を選んだなら彼女に会えないわけですから。

一方、彼女の方も同じような状況なので、彼が改札前で待っていることが分かったら、改札前で待つ、という戦略を選びます。

つまり、
男: 改札前
女: 改札前

というような状況はナッシュ均衡の状況といえます。

では、ナッシュ均衡はこの1種類だけでしょうか?
そんなことはありませんね。

男:コンビニ前
女:コンビニ前

もナッシュ均衡です。

このように、状況によっては、ナッシュ均衡が複数ある場合があります。

価格設定におけるナッシュ均衡

もう1つ価格設定を例にとって説明してみます。

例えば、冷蔵庫を販売している家電量販店AとBがあるとします。

AとBがお互い時期をずらしながら定期的にセールを開催し、冷蔵庫を販売している中、新手の家電量販店Cが出店し、激安価格で冷蔵庫を販売したとします。
AもBも負けじと価格を下げ、これ以上下げれない状態まで、AとBとCが価格を下げきり、しかも、ここで価格を上げると売れなくなってしまうため、損するような状況であれば、これはナッシュ均衡と言えます。利益が出ない状況まで値下げしてしまったけど、もう価格を戻すこともできない、まさに硬直状態ですね。


このようにナッシュ均衡は、身の回りにもたくさんあふれているものです。
ゲーム理論ときくと難しいイメージがありますが、身の回りにある様々な事例にナッシュ均衡の考え方を当てはめて、考えてみると面白い発見があるかもしれません!

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