素数の新定理を理解するために双子素数について学ぼう

素数の新定理が話題になっています。

素数の間隔で新定理発見 極端な偏りなく分布

こちらの新定理、実際の論文を以下から見ることができます。

SMALL GAPS BETWEEN PRIMES

こんな数式がでてきます。

prime_shiki

見ただけで、「もういいや」ってなってしまいそうですね。

実は今回の新定理を理解するためには、双子素数についての知識が役に立ちます。
ここでは双子素数についてどういったものなのかを見てみましょう。

pが素数、p+2が素数ならそれは双子素数

 双子素数はpが素数でp+2も素数のような素数のペアのことをいいます。
具体的には、

  • 3と5
  • 11と13
  • 17と19

なんかがあります。

さてさて、この双子素数、小さい数の場合はたくさん見つかりますが、数が大きくなるととたんに見つけるのが難しくなってきます。

数学の未解決問題、双子素数予想とは

素数が無数に存在することは大昔に証明されています。
では、双子素数は無数に存在するのか?
実はこの問いは、2014年の現在でも証明されていません。

ただし、双子素数は無数に存在するであろうという予想が数学の世界では提唱されています。

たとえばこちらの記事にあるように、双子ではありませんが、ある素数と、次の素数との隔たりが7千万以下のもの、と条件を緩めると、これらの素数のペアは無数に存在することが2013年に証明されています。

双子素数予想は数学に詳しくない人でも、理解できる予想なのに、まだ証明されていないというのはなかなか面白いですね。

いとこ素数とセクシー素数?

pとp+2のペアは双子素数ですが、間が2ではなく4離れている素数のペア、つまり、

  • 3と7
  • 7と11
  • 13と17

のようなペアのことをいとこ素数といいます。

また、pとp+6が素数、つまり、

  • 5と11
  • 11と17
  • 17と23

のようなペアのことをセクシー素数といいます(ラテン語で6をsexと書くのでsexy素数というそうです)。

素数単体ではなく、素数のペアを考えることで、様々な数学の理論が生まれています。
そして、その多くが未解決問題となっています。

いろいろな素数のペアを考えてみることで、あなたも新しい発見ができるかもしれません。

オイラーの公式目指して-数と式

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